Задача 108683

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны 30^o . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Пусть прямая AB пересекается с прямой, проходящей через точку K перпендикулярно медиане AK , в точке P . На продолжении отрезка PK за точку K отложим отрезок KQ = PK . Из прямоугольного треугольника APK находим, что APK = 60^o . В треугольнике APQ высота AK является медианой, значит, этот треугольник – равнобедренный, а т.к. один из его углов равен 60^o , то треугольник APQ – равносторонний. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . Тогда = . Таким образом, точка M , лежащая на медиане треугольника APQ , делит её в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, M – точка пересечения медиан треугольника APQ , т.е.центр этого правильного треугольника. Тогда KPM = 30^o = KBM , поэтому точки M , K , P и B лежат на одной окружности, причём PM – диаметр этой окружности, т.к. PKM = 90^o . Но тогда и PBM = 90^o . Следовательно,

ABC = ABM + MBK = 90^o+30^o = 120^o.
Кроме того, т.к. B и K – середины отрезков AP и BC , то треугольник BPK – также равносторонний. Пусть сторона треугольника APQ равна 2a . Тогда
AB = AP = a, BK= a, BC = 2BK = 2a.
По теореме косинусов находим, что
AC = = = a.
Следовательно,
cos ACB = = ,

cos CAB = = .

Ответ

ABC = 120^o , BAC = arccos , ACB = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6208
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	11
задача
Номер	3