Задача 108684

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Авторы: Заславский А.А., Кожевников П.А.

Две окружности пересекаются в точках P и Q . Третья окружность с центром в точке P пересекает первую в точках A и B , а вторую – в точках C и D (см.рисунок). Докажите что углы AQD и BQC равны.

Решение

Обозначим AQP = α , DQP = β . Тогда

AQD = AQP + AQP = α + β.
Поскольку PA = PB = PC = PD (радиусы одной окружности), треугольники ABP и CPD – равнобедренные, поэтому
BAP = ABP = AQP = α, CDP = DCP = DQP = β.
Из вписанных четырёхугольников ABQP и CDPQ находим, что
BQP = 180^o - BAP = 180^o-α, CQP = 180^o - CDP = 180^o-β.
Следовательно,
BQC = 360^o - BQP - CQP =

=360^o - (180^o - α) - (180^o - β) = α + β = AQD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6209
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	10
задача
Номер	2