Задача 108685

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AB, не содержащей точки C, выбрана точка M, отличная от A и B. Пусть прямые AC и BM пересекаются в точке K, а прямые BC и AM – в точке N. Докажите, что произведение отрезков AK и BN не зависит от выбора точки M.

Решение

  ∠BAK = ∠NBA,  ∠AMK = ACB = 60°,  а так как CAM – внешний угол треугольника AKM, то  ∠AKB = ∠CAM   ∠AMK = ∠CAM – 60°.  Аналогично
∠BAN = ∠CAM – 60° = ∠AKB.
  Значит, треугольники ABK и BNA подобны по двум углам. Следовательно,  AK : KB = AB : BN,  то есть  AK·DN = AB².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6220