Задача 108686
|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD.
Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB.
Решение
Пусть биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются в точке M, лежащей на стороне CD. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому AD : AC = DM : MC = BD : BC. Значит, AD : BD = AC : BC. Если биссектрисы углов ADB и ACB пересекают сторону AB в точках N и N' соответственно, то AN : BN = AD : BD = AC : BC = AN' : BN'. Следовательно, точки N и N' совпадают.
