Задача 108687

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри острого угла XAY взята точка D , а на его сторонах AX и AY – точки B и C соответственно, причём ABC = XBD и ACB= YCD . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC , лежит на отрезке AD .

Решение

Пусть K – точка на продолжении отрезка DB за точку B . Тогда

ABK = XBD = ABC.
Значит, BA – биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника BCD . Аналогично, CD – биссектриса внешнего угла при вершине C этого треугольника. Поскольку биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке, то DA – биссектриса угла BDC . Пусть перпендикуляр, восставленный из точки B к прямой AB пересекается с AD в точке Q . Тогда
CBQ = 90^o - ABC = 90^o- XBD = DBQ.
значит, BQ – биссектриса угла CBD , а т.к. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то CQ – биссектриса угла BCD . Поэтому
ACQ = ACB + BCQ = YCD + DCQ = YCQ.
Следовательно, ACQ = 90^o . Из точек B и C отрезок AQ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AQ , лежащим на отрезке AD , а т.к. эта окружность описана около треугольника ABC , то отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6222