Условие
В выпуклом четырёхугольнике, описанном около окружности,
произведения противоположных сторон равны. Угол между
стороной и одной из диагоналей равен
20
o . Найдите
угол между этой стороной и другой диагональю.
Решение
Пусть
ABCD – данный четырёхугольник,
BAC = 20
o .
Обозначим
AB=a ,
BC=b ,
CD=c ,
AD= d . Из условия задачи следует,
что
ac=bd и
a+c=b+d (свойство описанного четырёхугольника). Тогда
по теореме, обратной теореме Виета, либо
a=b и
c=d , либо
a=d и
c=b .
Предположим, что
a=b и
c=d , т.е.
AB=BC и
CD = AD . Тогда точки
B и
D равноудалены от концов отрезка
AC . Значит,
BD – серединный
перпендикуляр к диагонали
AC . Следовательно,
ABD = 90o - BAC = 90o-20o = 70o.
Аналогично для случая
a=d и
c=b .
Ответ
70
o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6231 |
