Задача 108697

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Оказалось, что  AH = BC.
Докажите, что биссектриса угла B, высота, опущенная из вершины A, и прямая, проходящая через точку H параллельно BC, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что луч, проходящий через вершину B и точку пересечения высоты AP с прямой, проходящей через точку H параллельно стороне BC, есть биссектриса угла B.

Решение

Пусть K – точка пересечения высоты AP с прямой, проходящей через точку H параллельно стороне BC.  ∠AKH = ∠APB = 90°,  ∠AHK = ∠B,  поэтому прямоугольные треугольники AKH и CHB равны по гипотенузе и острому углу. Значит,  KH = BH,  то есть треугольник BKH – равнобедренный и
∠CBK = ∠BKH = ∠HBK.  Следовательно, BK – биссектриса угла B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6233