Задача 108700

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AB и BC нашлись такие точки K и L соответственно, что  ∠ADK = ∠CDL.  Отрезки AL и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠ADP = ∠BDC.

Решение

  Будем обозначать через  d(X, l)  расстояние от точки X до прямой l. Пусть B' – точка, симметричная вершине B относительно общей биссектрисы углов KDL и ADC. Достаточно доказать, что точки D, P и B' лежат на одной прямой (тогда  ∠ADP = ∠ADB' = ∠BDC),  что равносильно равенству
d(P, DK) : d(P, DL) = d(B', DK) : d(B', DL) = d(B, DL) : d(B, DK).
  Пусть E и F проекции точек P и C на прямую KD. Из подобия прямоугольных треугольников KPE и KCF следует, что
d(P, DK) : d(C, DK) = PE : CF = KP : KC = S_KPL : S_KCL.     (1)
  Аналогично  d(P, DL) : d(A, DL) = S_KPL : S_AKL.     (2)

  Так как  d(C, DK) : d(A, DL) = CD : AD  (равны углы, смежные с углами ADK и CDL), то, разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим, что  

  Аналогично из равенств     получим     Значит,  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6236