Задача 108742

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4K,  где K – любое натуральное число, делится на 400.

Решение

Данную сумму можно сгруппировать следующим образом:
(7 + 7² + 7³ + 7⁴) + (7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸) + ... + (7^4K–3 + 7^4K–2 + 7^4K–1 + 7^4K) = (7 + 7² + 7³ + 7⁴)(1 + 7⁴ + 7⁸ + ... + 7^4K–4).  Сумма (7 + 7² + 7³ + 7⁴) = 7·400  делится на 400, откуда и вытекает доказываемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 8.1