Задача 108763

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной P , F – основание перпендикуляра, опущенного из середины L ребра BC прямую AP . Прямая AL – ортогональная проекция наклонной AP на плоскость основания пирамиды. По теореме о трёх перпендикулярах AP BC , поэтому прямая AP перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BFC . Значит, прямая AP перпендикулярна плоскости BFC . Поэтому FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

FL = AL sin FAL = AL sin DAM = · sin 60^o = .
Поскольку прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC , угол между боковыми гранями PAB и PAC – это угол BFC . Обозначим BFC = γ . В равнобедренном треугольнике BFC медиана FL является высотой и биссектрисой, поэтому в прямоугольном треугольнике BLF угол BFL равен ,
tg = = = .
По известной формуле тригонометрии можно найти и косинус угла между боковыми гранями данной пирамиды:
cos γ = = = .

Ответ

2 arctg = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7006