Задача 108773

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите угол между соседними боковыми гранями.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB . Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM – высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что PM = MK = . Пусть α – угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

tg α = tg MAP = = = .
Тогда
cos α = = , sin α = .
Прямая AC – ортогональная проекция наклонной PC на плоскость основания пирамиды. Так как AC BD , то по теореме о трёх перпендикулярах PC BD . Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую PC . Тогда прямая PC перпендикулярна двум пересекающимся прямым MF и BD плоскости треугольника BFD . Значит, MF PC , а т.к. MF BD , то MF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PC и BD . Из прямоугольного треугольника AMF находим, что
MF = AM sin FAM = AM sin α = · = .
Прямая PC перпендикулярна плоскости треугольника DFB , поэтому угол между боковыми гранями CBP и CDP – это угол BFD . Обозначим BFD = γ . В равнобедренном треугольнике BFD медиана FM является высотой и биссектрисой, поэтому в прямоугольном треугольнике BFM угол BFM равен ,
tg = = = .
Следовательно, γ = 60^o , а BFD = 2γ = 120^o .

Ответ

120^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7016