Задача 108835

Темы:    [ Объем призмы ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до противолежащего ребра.

Решение

Пусть ABCA1B1C1 – треугольная призма с основаниями ABC , A1B1C1 и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 . Достроим её основания до параллелограммов ABDC и A1B1D1C1 и рассмотрим параллелепипед ABDCA1B1D1C1 (AA1 || BB1 || DD1 || CC1) . Если его грань ABB1A1 – основание, то высота равна расстоянию между параллельными плоскостями ABB1A1 и CDD1C1 , т.е. расстоянию h между прямой CC1 и параллельной ей плоскостью ABB1A1 . Объём параллелепипеда равен S_ABB1A1· h , а объём данной призмы равен половине объёма параллелепипеда. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7237