Условие
Тетраэдр называется равногранным, если все его грани –
равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить
равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей,
то получится прямоугольный параллелепипед,
Решение
Докажем сначала, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра
попарно равны.
Пусть
ABCD – тетраэдр, в котором грани – равные разносторонние
треугольники со сторонами
a ,
b и
c . Причём
AB=c ,
AC=b и
BC=a . Тогда
CD=c , т.к. в противном случае либо треугольник
ABD ,
либо
BDC был бы равнобедренным, что невозможно. Аналогично,
BD=AC=b и
AD=BC = a .
Если грани – равные равнобедренные треугольники, утверждение очевидно.
Перейдём к нашей задаче. У полученного параллелепипеда каждая грань –
параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник. Следовательно,
параллелепипед – прямоугольный.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7267 |
