Задача 108843

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.

Решение

Пусть развёртка тетраэдра ABCD на плоскость грани ABC состоит из треугольников ABC , D1BC , D2AC и D3AB . Обозначим BAC = α , ABC=β , ACB=γ . Поскольку противоположные рёбра равногранного тетраэдра попарно равны, в равных треугольниках ABC и D1CB равны углы ACB и CBD1 . Значит, CBD1 = ACB = γ . Аналогично, ABD3 = BAC = α . Следовательно,

D1BD3 = CBD1 + CBA + ABD3 = γ + β + α = 180^o.
Поэтому точка B лежит на отрезке D1D3 (причём B – середина D1D3 ). Аналогично докажем, что точка C лежит на отрезке D1D2 , а точка A – на отрезке D2D3 . Следовательно, развёртка тетраэдра ABCD на плоскость грани ABC есть треугольник D1D2D3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7269