Задача 108845

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Все высоты пирамиды ABCD , грани которой являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Известно, что AB= 9 , BC = 13 , а угол ADC равен 60^o . Найдите ребро BD .

Решение

Поскольку объём пирамиды равен третьей части произведения основания на высоту, а все высоты пирамиды равны, все грани пирамиды равновелики. Докажем, что противоположные рёбра такой пирамиды попарно равны. Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.2). Из середины G ребра AB опустим перпендикуляр GH на ребро CD (рис.1). Рассмотрим ортогональную проекцию PA1B1 тетраэдра ABCD на плоскость, перпендикулярную CD , где P – проекции точек C , D и H ; A1 – проекция вершины A , B1 – проекция вершины B . Из равенства площадей треугольников ADC и BDC , следует равенство их высот, проведенных к общей стороне CD , а значит, и равенство ортогональных проекций A1P и B1P этих высот на плоскость, перпендикулярную CD . Поскольку проекция G1 середины отрезка AB является серединой A1B1 , медиана PG1 равнобедренного треугольника A1B1P перпендикулярна основанию A1B1 . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах GH AB . Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через середину AB . Аналогично, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через середину CD . Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , перпендикулярны этим рёбрам (рис.2), а значит, и граням параллелепипеда AKBLNDMC . Поэтому, параллелепипед AKBLNDMC – прямоугольный. Следовательно, противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно равны как диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда. Значит,

AD = BC = 13, CD = AB = 9.
Следовательно,
BD = AC = =

= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7308