Задача 108873

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трёх параллельных прямых в точках F , G и H . Известно, что площадь треугольника QGH равна 4 , а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH .

Решение

Пусть прямая a касается данной сферы в точке F (рис.1). Проведём через точку Q плоскость α , перпендикулярную прямой a . Если прямая a пересекает эту плоскость в точке F1 , то QF1 a , а т.к. прямая, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания, то QF a . Из единственности перпендикуляра, проведённого к данной прямой через данную точку, следует, что точка F1 совпадает с точкой F . Поскольку данные прямые параллельны, плоскость α перпендикулярна каждой из них. Значит, плоскость α проходит также через точки G и H . Треугольник FGH вписан в окружность пересечения сферы с плоскостью α . Пусть S_{Δ FGH} = S . По условию

4 = S_{Δ QGH} = QG· QH sin GQH = · 4· 4 sin GQH = 8 sin GQH,
откуда sin GQH = . Значит, либо GQH = 45^o , либо GQH = 135^o . Пусть GQH = 45^o . Если точка F лежит на большей из дуг GH , (рис.2) то площадь треугольника FGH максимальна, если точка F совпадает с точкой A , лежащей на серединном перпендикуляре к хорде GH , т.е. на диаметре AB окружности, перпендикулярном хорде GH . Если C – середина этой хорды, то
S GH· AC < GH· AB = · AB =

= · 8 = 16 < 16· 1 = 16,
что противоречит условию. Если точка F лежит на меньшей из дуг GH (рис.3), то
S_{Δ FGH} S_{Δ BGH} < S_{Δ AGH} < 16,
что также противоречит условию. Пусть GQH = 135^o . Тогда площадь сектора с углом GQH , равным 135^o , составляет три восьмых от площади круга радиуса 4, т.е. равна 6π . Если точка F лежит на меньшей из дуг GH (рис.4), то площадь треугольника FGH меньше площади сегмента, ограниченного этой дугой, т.е.
S < 6π - S_{Δ QGH} = 6π - 4 < 16

(6π - 4 < 16 6π < 4 + 16 3π < 2 + 8 3π < 10 < 2 + 8),
что противоречит условию. Если точка F лежит на большей из дуг GH (рис.5), то S может быть больше 16. В самом деле, пусть F совпадает с серединой A большей из дуг GH . Тогда
AQG = AQH = (360^o - 135^o) = 112.5^o < 120^o,
поэтому
S_{Δ AGH} = S_{Δ QGH} + 2S_{Δ AQH} = 4 + 4· 4· sin 112.5^o >

> 4 + 4· 4· sin 120^o = 4 + 8 > 4 + 8· 1.5 = 4 + 12 = 16.
Таким образом, GQH = 135^o , а точка F лежит на большей из дуг GH . Следовательно,
GFH = GQH = · 135^o = 67.5^o.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7744