Задача 108881

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Середины сторон выпуклого шестиугольника образуют шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны.
Докажите, что большие диагонали исходного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть ABCDEF – исходный шестиугольник, P, Q, R, S, T, U – середины его сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA соответственно. Тогда  PU || BF  и  RS || CE, а так как по условию  PU || RS,  то  BF || CE.  Аналогично  BD || AE  и  DF || AC.  Таким образом, стороны треугольника BDF, соответственно параллельны сторонам треугольника ACE. Значит, эти треугольники гомотетичны. Их центр гомотетии и есть точка пересечения больших диагоналей исходного шестиугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4470