Задача 108883

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка O , не лежащая на диагонали BD , причём ODC = CAB и OBC = CAD . Докажите, что ACB = OCD .

Решение

Пусть прямые BO и AD пересекаются в точке E . Рассмотрим случай, когда точка E лежит на отрезке AD . Из точек A и B , лежащих по одну сторону от прямой CE , отрезок CE виден под одним и тем же углом, значит, точки A , B , C и E лежат на одной окружности. Тогда

OEC = BEC = BAC = ODC.
Значит, из точек E и D , лежащих по одну сторону от прямой OC , отрезок OC виден под одним и тем же углом. Поэтому четырёхугольник DEOC – вписанный. Следовательно,
OCD = 180^o - OED = AEO = AEB = ACB.
Аналогично для случая, когда точка E лежит на продолжении отрезка AD за точку D . Заметим, что точка E не может лежать на продолжении отрезка AD за точку A , т.к. точка O лежит внутри угла ABC , а значит, луч BE проходит между сторонами угла ABC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4472