Задача 108884

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD можно выбрать такие точки K и L соответственно, что отрезок KL не параллелен основаниям и делится диагоналями на три равные части. Найдите отношение оснований трапеции.

Решение

  Не умаляя общности, можно считать, что точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника KBCL. Пусть  AD = x,  BC = y.  Обозначим площади треугольников BCL, BLD, BCK и CKA через S₁, S₂, S₃ и S₄ соответственно. Пусть отрезок KL пересекает диагональ BD в точке M. Если KP и LQ – высоты треугольников BKD и BLD, опущенные на общее основание BD, то из подобия прямоугольных треугольников KPM и LQM следует, что  KP : LQ = KM : ML = 2 : 1.  Значит,  S₂ = S_BLD = ½ S_BKD.
  С другой стороны, высоты, опущенные из вершин D и C треугольников BKD и BCK на их общее основание BK, относятся как  AD : BC,  значит, так же относятся и их площади. Поэтому  S₂ = ½ S_BKD = ½·^x/_y S₃.
  Аналогично  S₄ = ½·^x/_y S₁.  Отсюда следует, что  S₁S₂ = S₃S₄.  Кроме того,  S₁ + S₂ = S₃ + S₄.  По теореме, обратной теореме Виета, либо  S₁ = S₃  и  S₂ = S₄,  либо  S₁ = S₄  и  S₂ = S₃.  Первое невозможно, так как отрезок KL не параллелен основаниям трапеции, а во втором случае  ^x/_y = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4473