Условие
В четырёхугольнике
ABCD точки
K ,
L ,
M ,
N –
середины сторон соответственно
AB ,
BC ,
CD ,
DA .
Прямые
AL и
CK пересекаются в точке
P , прямые
AM и
CN – пересекаются в точке
Q . Оказалось, что
APCQ – параллелограмм. Докажите, что
ABCD – тоже
параллелограмм.
Решение
Из теоремы о средней линии треугольника следует, что
KLMN – параллелограмм. Пусть
O – его центр, т.е.
общая середина отрезков
LN и
KM . При симметрии относительно точки
O точка
K переходит в точку
M , луч
KC – в противоположно
направленный с ним луч
MA , точка
L – в точку
N , луч
LA –
в противоположно направленный с ним луч
NC . Значит, при этой симметрии
точка
P пересечения лучей
KC и
LA переходит в точку
Q пересечения
лучей
MA и
NC . Поэтому
O – середина
PQ , т.е. центр параллелограмма
APCQ . Следовательно,
ALCN – также параллелограмм (его диагонали
делятся точкой пересечения
O пополам). Тогда
CL || AN . Аналогично,
CM || AK . Осюда следует утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4475 |
