Задача 108901

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На стороне BC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что  CM = MN = NB.  К стороне BC в точке N восставлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Оказалось, что площадь треугольника AMK в 4,5 раза меньше площади исходного треугольника. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

  Заметим, что точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BM, поэтому треугольник BKM – равнобедренный. Пусть  S_ABC = S.  Тогда
S_ABM = ⅔ S,  S_BKM = S_ABM – S_AKM = ⅔ S – ²/₉ S = ⁴/₃ S = ⅔ S_ABM.  Значит,  BK = ⅔ BA.
  Поэтому  KM || AC,  то есть треугольник BAC подобен равнобедренному треугольнику BKM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6251