Задача 108904

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отрезки AC и BD пересекаются в точке M , причём AB=CD и ACD = 90^o . Докажите, что MD MA .

Решение

Пусть точка B' симметрична точке B относительно серединного перпендикуляра к отрезку AD . Тогда DB'=AB = CD . Докажем, что точки B' и D не могут лежать по разные стороны от прямой AC . Действительно, если бы точки B' и D лежали по разные стороны от прямой AC , то прямая AC пересекала бы отрезок B'D в некоторой его внутренней точке P и было бы верно неравенство DB' > DP CD , т.к. CD – перпендикуляр к AC . Что невозможно. Из доказанного следует, что луч AB' проходит между сторонами угла CAD , значит,

ADM = ADB = DAB' CAD = MAD.
Следовательно, AM DM .

Из теоремы синусов следует, что окружности, описанные около треугольников ABM и CDM , равны, а т.к. MD – диаметр второй окружности, а AM – хорда первой, то MD MA .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6254