Задача 108905

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Углы между биссектрисами ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60°. На лучах BA и CA отложены отрезки BX и CY, равные стороне BC.
Докажите, что прямая XY проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Тогда равнобедренный треугольник BCX симметричен относительно прямой BI, а равнобедренный треугольник BCY симметричен относительно прямой CI. Поэтому  ∠BIX = ∠BIC = 120°.  Аналогично  ∠YIC = 120°.  Но и
∠XIC = 360° – ∠BIX – ∠BIC = 120°.
  Следовательно, точки I, X и Y лежат на одной прямой.

Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6255