Условие
CL – биссектриса треугольника
ABC ,
AC < BC .
На прямой, параллельной
CL и проходящей через вершину
B , выбрана такая точка
M , что
LM=LB . На отрезке
CM выбрана такая точка
K , что отрезок
AK делится
прямой
CL пополам. Докажите, что
CAK =
ABC .
Решение
Докажем сначала следующее утверждение: если точки
P и
Q лежат
на сторонах
XY и
YZ треугольника
XYZ , а медиана
YS делит
пополам отрезок
PQ , то
PQ || XZ .
Пусть точки
P и
Q лежат на сторонах
XY и
YZ соответственно, а
медиана
YS пересекает отрезок
PQ в точке
T (рис.1). Предположим, что
прямая
PQ не параллельна
XZ .
Через точку
Q проведём прямую, параллельную
XZ . Если проведённая прямая
пересекает сторону
XY в точке
P' , то
XP'QZ – трапеция.
По замечательному свойству трапеции точки
Y ,
S и середина
T' основания
QP' лежат на одной прямой. Тогда средняя линия
TT' треугольника
QPP'
параллельна прямой
PP' , т.е. прямой
XY , что невозможно, т.к. прямые
XY и
TT' пересекаются в точке
Y . Утверждение доказано.
Перейдём к нашей задаче (рис.2). При симметрии относительно биссектрисы
CL вершина
B перейдёт в точку
B' , лежащую на прямой
AC . При этом
BB' 
CL и
CL || BM , поэтому
BB' BM .
Поскольку
LM=LB=LB' , точка
L – центр окружности, проходящей через вершины
прямоугольного треугольника
BB'M , т.е. середина гипотенузы
B'M . Таким
образом, медиана
CL треугольника
B'MC проходит через середину отрезка
AK
с концами на сторонах
CB' и
CM . Тогда, по доказанному,
AK || B'M .
Значит,
CAK = MB'C = LB'C = LBC = ABC.
Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6256 |
