Задача 108917

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Точки B' и C' симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что  C'AC = ∠B'DB.

Решение

  Поскольку угол симметричен относительно своей биссектрисы, точка B' лежит на луче OC, а точка C' – на луче OB. При этом  OB' = OB  и  OC' = OC.  Из подобия треугольников AOD и COB следует, что  AO : OC' = AO : OC = DO : OB = DO : OB'.
  Значит,  AO·OB' = DO·OC'.  Поэтому точки A, C', B' и D лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы C'AB' и B'DC' равны. Следовательно,  ∠C'AC = ∠C'AB' = ∠B'DC' = ∠B'DB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6268