Условие
На сторонах AB и AC треугольника ABC с углом A, равным 114° взяты точки K и L соответственно.
Докажите, что на отрезке KL существует такая точка O, для которой OA < OB и OA < OC.
Решение
Геометрическое место точек X, для которых XA < XB есть содержащая точку A полуплоскость, граница которой – серединный перпендикуляр к стороне AB. Аналогично находим геометрическое место точек X для которых XA < XC. Пересечение этих двух геометрических мест есть плоский четырёхугольник AEQD (часть
плоскости, ограниченная выпуклым четырёхугольником AEQD), где D
и E – середины сторон соответственно AC и AB треугольника ABC, а Q – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, т.е. центр его описанной окружности.
Проведём средние линии DF и EF. Поскольку угол BAC – тупой, точка Q расположена вне треугольника. Тогда отрезки DF и EF расположены внутри четырёхугольника AEQD. Любой отрезок KL с концами на сторонах AB и AC треугольника ABC пересекается с четырёхугольником AEQD. Следовательно, для каждой точки O этого отрезка, лежащей внутри четырёхугольника, верны неравенства OA < OB и OA < OC.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6271 |
