Задача 108926

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и CC₁, кроме того, отмечены середины K и L сторон AB и BC соответственно. На прямую CC₁ опущен перпендикуляр AP, а на прямую AA₁ – перпендикуляр CQ. Докажите, что прямые KP и LQ пересекаются на стороне AC.

Решение

  Пусть M – середина стороны AC. Тогда PM – медиана прямоугольного треугольника APC, проведённая к гиротенузе. Поэтому  ∠MPC = ∠MCP = ∠PCA.  Значит,  MP || BC.
  С другой стороны, MK – средняя линия треугольника ABC, поэтому  MK || BC.  Следовательно, прямая MP проходит через точку K. Аналогично прямая MQ проходит через точку L. Таким образом, прямые KP и LQ пересекаются в середине стороны AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6277