Условие
На стороне BC остроугольного треугольника ABC взята точка K. Биссектриса угла CAK вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что если прямая LK перпендикулярна отрезку AB, то либо AK = KB, либо AK = AC.
Решение
Пусть M – точка пересечения прямых AL и BC.
Первый способ. Пусть H – проекция точки L на AB, B' – точка, симметричная вершине B относительно точки H. Предположим, что точка B' совпадает с вершиной A. В этом случае H – середина AB. Тогда высота KH треугольника AKB является его медианой. Следовательно, AK = KB.
Если же точка B' отлична от A, то ∠LAK = ∠LAC = ∠CBL = ∠LBK = ∠LB'K.
Точки B' и A лежат по одну сторону от прямой KL, значит, точки A, B', K и L лежат на одной окружности. Поэтому ∠ALK = ∠KB'B = ∠KBA.
Треугольник LKM подобен треугольнику BKH по двум углам. Значит, ∠KML = ∠KHB = 90°, то есть биссектриса AM треугольника KAC является его медианой.
Второй способ. Пусть P – проекция точки K на AL, Q – точка пересечения прямых KP и AB. Если точка P совпадает с M, то ∠AMK = 90°,
то есть биссектриса AM треугольника KAC является его медианой.
Следовательно, AK = AC.
В противном случае K – ортоцентр треугольника ALQ, поэтому ∠KBL = ∠CBL = ∠CAL = ∠KAL = ∠CQL = ∠KQL. Значит, точки L, K, B и Q лежат на одной окружности. Следовательно, ∠KAB = ∠KLQ = ∠KBQ = ∠KBA, откуда AK = KB.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6278 |
