Задача 108928

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть AB – наименьшая сторона остроугольного треугольника ABC . На сторонах BC и AC выбраны точки X и Y соответственно. Докажите, что длина ломаной AXYB не меньше удвоенной длины стороны AB .

Решение

Пусть A1 – точка, симметричная вершине A относительно прямой BC , а B1 – точка, симметричная вершине B относительно прямой AC . Тогда

AX + XY + YB B1A1.
Обозначим углы треугольника ABC через α , β и γ . Для определённости будем считать, что α β . Тогда α – наибольший угол треугольника, поэтому α 60^o . Тогда
BAB1 = 2 BAC = 2α 120^o.
Пусть AB = a . Из равнобедренного треугольника BAB1 находим, что
BB1 = 2AB sin α 2a sin 60^o = a.
Рассмотрим треугольник A1BB1 . В нём
A1BB1 = A1BA - ABB1 = 2β - (90^o - α) =

=2β + α - 90^o > β + γ + α - 90^o = 180^o-90^o= 90^o.
Тогда
A1B1 = =2a.
Сдедовательно
AX + XY + YB B1A1 2a = 2AB.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6279