Задача 108930

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Через вершины B и C проведены параллельные прямые b и c, равноудалённые от вершины A. На прямых b и c выбраны соответственно такие точки M и N, что отрезки LM и LN пересекаются со сторонами соответственно AB и AC и делятся ими пополам.
Докажите, что  LM = LN.

Решение

  Лемма. Точка M – середина стороны BC треугольника ABC. На сторонах AC и BC взяты точки B₁ и C₁ соответственно. Отрезки AM и B₁C₁ пересекаются в точке P. Тогда, если P – середина B₁C₁, то  B₁C₁ || BC.
  Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда через точку B₁ проведём прямую, параллельную стороне BC. Пусть она пересекает сторону AC в точке C₂, а отрезок AM – в точке P'. Тогда P' – середина B₁C₂. Значит, PP' – средняя линия треугольника B₁C₁C₂. Поэтому  C₁C₂ || PP',  что невозможно, так как прямые C₁C₂ и PP' пересекаются в точке B.

  Пусть отрезки AB и LM пересекаются в точке Y (середина ML), отрезки AC и LN – в точке Z (середина NL), а прямые AB и c – в точке X. Обозначим через P и Q основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые b и c соответственно.
  Прямоугольные треугольники APB и AQX равны по катету и острому углу. Поэтому A – середина отрезка BX.
  Заметим, что отрезок LN с концами на сторонах B и CX треугольника BCделится медианой C пополам. Тогда по лемме  LN || AB.
  Аналогично  LM || AC.
  Значит, четырёхугольник AYLZ – параллелограмм. Его диагональ AL – биссектриса угла YAZ, поэтому AYLZ – ромб. Следовательно,  LM = 2LY = 2LZ = LN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6281