Задача 108935

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B провели медиану BM. Вписанная окружность треугольника ABM, касается сторон AB и AM в точках K и L. Известно, что прямые KL и BM параллельны. Найдите угол C.

Решение

AK = AL,  как касательные, проведеные к окружности из одной точки. По теореме Фалеса  AM = AB.  С другой стороны,  BM = AM  как медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе. Следовательно, треугольник ABM – равносторонний, а ∠ A = 60°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6286