Задача 108946

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA1 , BB1 , CC1 . На стороне BC взята точка K , для которой BB1K = BAC , а на стороне AB – точка M , для которой BB1M = ACB ; L – точка пересечения высоты BB1 и отрезка A1C1 . Докажите, что четырёхугольник B1KLM – описанный.

Решение

Обозначим BAC = α , ACB = β . Из точек A1 и C1 сторона AC видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC . Тогда

BA1C1 = 180^o - CA1C1 = CAC1 = α.
Аналогично, BC1A1 = γ и CA1B1 = α . Поскольку
LB1K = BB1K = BAC = α,
четырёхугольник LA1KB1 – вписанный. Поэтому
KLB1 = KA1B1 = CA1B1 = α = KB1L.
Значит, треугольник KLB1 – равнобедренный, KL=KB1 . Аналогично докажем, что ML=MB1 . Тогда в выпуклом четырёхугольнике B1KLM известно, что
ML + KB1 = MB1+KL.
Следовательно, около него можно описать окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6297