Задача 108972

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Углы между биссектрисами ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Доказать, что множество центров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники, гипотенузой которых служит неподвижный отрезок длиной c , есть дуги окружностей с радиусом c/2 .

Решение

Пусть O – центр круга, вписанного в один из прямоугольных треугольников с гипотенузой c (рис.). Точка O лежит на биссектрисах углов треугольника. OAC=1/2 BAC, OCA=1/2 BCA, OAC+ OCA=1/2 ( BAC+ BCA)= 1/2 90^o=45^o ( BAC+ BCA – сумма острых углов прямоугольного треугольника), AOC=180^o-( OAC+ OCA)=180^o-45^o=135^o (из треугольника AOC ). Следовательно, множество центров кругов, вписанных в прямоугольные треугольники с общей гипотенузой, есть множество точек, из которых эта гипотенуза видна под углом в 135^o . Это – две дуги, стягивающие хорды, являющиеся сторонами вписанного в круг квадрата, ибо вписанные в эти дуги углы измеряются половинами дуг в 270^o , а значит, сами дуги содержат 90^o . Поскольку стягиваемая этими дугами хорда есть гипотенуза наших прямоугольных треугольников, то радиус искомых дуг равен c/2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.1