Задача 108984

Темы:    [ Иррациональные уравнения ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Замена переменных (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Найти все действительные решения уравнения

36/+4/=28-4-.

Решение

Из условия видно, что x 2,y 1 . Введём обозначения: =a², =b² . Наше уравнение можно переписать так: 36/a²+4/b²+4a²+b²-28=0. Разобьём свободный член на два слагаемых и перегруппируем уравнения:

(36/a²-24+4a²)+(4/b²-4+b²)=0
или
(6/a-2a)²+(2/b-b)²=0.
Но сумма двух квадратов действительных чисел может равняться нулю только при условии, что каждое слагаемое равно нулю. Поэтому 6/a=2a, 2/b=b или a²=3, b²=2 . Возвращаясь к прежним обозначениям, найдём: x=11, y=5 .

Ответ

x=11, y=5 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 8.5