Задача 108988

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что из равенства     вытекает равенство     если k нечётно.

Решение

  Запишем данное равенство в виде  (a + b + c)(bc + ac + ab) = abc.  Отсюда
     0 = (a + b + c)(bc + ac + ab) – abc = (a + b + c)c(a + b) + (a + b)ab = (a + b)(ac + bc + c² + ab) = (a + b)(a + c)(b + c).
  Поэтому по крайней мере одна из скобок равна нулю. Пусть, например,  a = –b.  Тогда при нечётном k  a^k = – b^k,  и доказываемое равенство принимает вид очевидного тождества.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.3