Задача 108992

Тема:    [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что если

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,
то x^yy^x=z^yy^z=x^zz^x .

Решение

Данные равенства можно переписать в виде следующих трёх:

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y,

(y(x+z-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,

(z(x+y-z))/ z=(x(y+z-x))/ x
или в виде
x y/y x=(z+x-y)/(y+z-x), (1)

y z/z y=(x+y-z)/(x+z-y), (2)

x z/z x=(x+y-z)/(y+z-x). (3)
Перепишем равенства (1) и (3) в виде
y^x/ x^y=(z+x-y)/(y+z-x) и frac z^x x^z=(x+y-z)/(y+z-x)
и применим к обоим равенствам производную пропорцию: если a/b=c/d , то (a+b)/b=(c+d)/d . Получим
( y^x+ x^y)/ x^y=2z/(y+z-x), ( z^x+ x^z)/ x^z=2y/(y+z-x)
или
y^xx^y=2z x^y/(y+z-x), z^xx^z=2y x^z/(y+z-x).
Замечаем, что правые части этих равенств равны между собой, следовательно, равны и левые, т. е. y^xx^y= z^xx^z , а значит, получили равенство y^xx^y=z^xx^z . Аналогично из равенств (2) и (3) найдём, что y^zz^y=x^zz^x . Объединяя два полученных равенства, получим утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.7