Условие
Стороны треугольника
a,b и
c .
A=60o . Доказать, что
3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c).
Решение
Преобразуем данное выражение:
3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c),
3(a+b)(a+c)=(a+b+c)(2a+b+c),
3a2+3ac+3ab+3bc=(a+b+c)2+a(a+b+c),
a2+bc=b2+c2.
Итак, доказываемое равенство равносильно следующему:
a2=b2+c2-bc . Но это же соотношение получается, если применим
теорему косинусов для угла в
60o :
cos A= cos 60o=1/2,
a2=b2+c2-2bc cos A . Учащиеся, не знакомые с теоремой косинусов,
могут получить этот результат с помощью теоремы Пифагора, разбив
треугольник на два прямоугольных треугольника.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Название |
14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1964 |
|
Номер |
14 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 11.1 |
