ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109021
УсловиеОколо сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.РешениеРешение 1
Пусть четырехугольник ABCD описан около сферы и K,L,M,N –
точки касания с шаром прямых AB,BC,CD и DA соответственно
(рис.). По свойству касательных к шару получим:
Проведем через точки K,L,M плоскость α . Эта плоскость пересечет прямую AD в некоторой точке N1 , ибо точки A и D лежат по разные стороны плоскости α . Допустим, что N1 не совпадет с точкой N . Пусть, например, AN1
Решение 2 Пусть сфера касается сторон AB, BC, CA и AD в точках K, L, M и N соответственно. Тогда AN = AK, BK = BL, CL = CM и DM = DN. Поэтому
. . . = 1.(()1)
Рассмотрим точку N', в которой плоскость KLM пересекает прямую DA.
Покажем, что
. . . = 1.(()2)
Для этого рассмотрим проекцию на прямую, перпендикулярную плоскости KLM.
Точки K, L, M и N' при этом проецируются в одну и ту же точку X.
Пусть A1, B1, C1, D1 — проекции точек A, B, C, D.
Отношения отрезков, лежащих на одной прямой, при проекции сохраняются, поэтому
. . . = . . . = 1.
Из равенств (1) и (2) следует, что
DN : AN = DN' : AN', поэтому N = N' (обе точки
N и N' лежат на отрезке AD).
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|