Условие
k точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с
вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что
все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
Решение
Из данных
k точек выбираем 3 такие, что треугольник с вершинами в
данных точках имеет наибольшую площадь из всех треугольников с
вершинами в данных
k точках. Пусть это будут точки
A,B,C (рис.).
Проведём через точку
B прямую
LN||AC . Каждая из
k точек будет
лежать по ту же сторону от прямой
LN , что и треугольник
ABC , ибо
иначе площадь треугольника с вершиной в этой точке и основанием
AC
была бы больше площади треугольника
ABC . Проведя через точку
A
прямую
LM||BC и через точку
C прямую
MN||AB , точно так же
докажем, что все
k точек лежат по ту же сторону от прямых
LM и
MN , что и точки
A,B,C . Следовательно, все
k точек будут лежать
внутри треугольника
LMN . Площадь этого треугольника состоит из
площадей четырёх равных треугольников. Поскольку площадь одного из
них не превосходит единицы, то площадь всего треугольника
LNM не
превосходит четырёх.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Год |
1966 |
|
Название |
16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Номер |
16 |
|
Задача |
|
Название |
Задача 10.1 |
