ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 109040
УсловиеДоказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.РешениеПервое решение:Пусть в шестиугольнике ABCDEK; AB||DE, BC||EK, CD||KA, AD=BE=CK . Из условия задачи следует, что четырехугольники ABDE, BCEK, CDKA являются трапециями, причем равнобедренными, так как их диагонали равны (рис.). Поэтому они будут иметь оси симметрии, представляющие собой срединные перпендикуляры к параллельным сторонам трапеций. Эти оси – биссектрисы углов между диагоналями, а вместе с тем биссектрисы углов треугольника NLM , образованного точками пересечения диагоналей трапеций. Следовательно, эти три оси пересекутся в одной точке O , которая и будет центром окружности, описанной вокруг данного шестиугольника, так как лежит на срединных перпендикулярах всех сторон шестиугольника. Второе решение: Пусть ABCDEF — шестиугольник, удовлетворяющий условию задачи. Четырёхугольник FBCE является равнобочной трапецией, поэтому прямая MM1, соединяющая середины её оснований, перпендикулярна к ним и служит биссектрисой угла между диагоналями BE и FC. Точно так же доказываются аналогичные свойства прямых NN1 и LL1, соединяющих середины противоположных сторон шестиугольника. Эти три прямые являются биссектрисами углов треугольника, образованного диагоналями, поэтому они пересекаются в одной точке O. Точка O равноудалена от всех вершин шестиугольника, поскольку она лежит на всех серединных перпендикулярах к сторонам шестиугольника. Значит, вокруг шестиугольника можно описать окружность с центром O. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|