ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109040
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Шестиугольники ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Решение

Первое решение:

Пусть в шестиугольнике ABCDEK; AB||DE, BC||EK, CD||KA, AD=BE=CK . Из условия задачи следует, что четырехугольники ABDE, BCEK, CDKA являются трапециями, причем равнобедренными, так как их диагонали равны (рис.). Поэтому они будут иметь оси симметрии, представляющие собой срединные перпендикуляры к параллельным сторонам трапеций. Эти оси – биссектрисы углов между диагоналями, а вместе с тем биссектрисы углов треугольника NLM , образованного точками пересечения диагоналей трапеций. Следовательно, эти три оси пересекутся в одной точке O , которая и будет центром окружности, описанной вокруг данного шестиугольника, так как лежит на срединных перпендикулярах всех сторон шестиугольника.

Второе решение:

Пусть ABCDEF — шестиугольник, удовлетворяющий условию задачи. Четырёхугольник FBCE является равнобочной трапецией, поэтому прямая MM1, соединяющая середины её оснований, перпендикулярна к ним и служит биссектрисой угла между диагоналями BE и FC. Точно так же доказываются аналогичные свойства прямых NN1 и LL1, соединяющих середины противоположных сторон шестиугольника. Эти три прямые являются биссектрисами углов треугольника, образованного диагоналями, поэтому они пересекаются в одной точке O. Точка O равноудалена от всех вершин шестиугольника, поскольку она лежит на всех серединных перпендикулярах к сторонам шестиугольника. Значит, вокруг шестиугольника можно описать окружность с центром O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 12
Год 1949
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 5
олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер 17
Название 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1967
Задача
Название Задача 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .