Задача 109095

Тема:    [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Расстояния от концов отрезка до плоскости равны 1 и 3. Чему может быть равно расстояние от середины этого отрезка до той же плоскости?

Решение

Пусть A1 , B1 и M1 – ортогональные проекции на плоскость α точек A и B и середины M отрезка AB соответственно. Тогда расстояние от точки M до плоскости α равно длине отрезка MM1 . Если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости α , то MM1 – средняя линия прямоугольной трапеции AA1B1B с основаниями AA1 и BB1 . Следовательно,

MM1 = (AA1 + BB1) = (1 + 3) = 2.
Если точки A и B расположены по разные стороны от плоскости α , то MM1 – отрезок, соединяющий середины диагоналей прямоугольной трапеции AA1BB1 с основаниями AA1 и BB1 . Следовательно,
MM1 = |AA1 - BB1| = (3 - 1) = 1.

Ответ

2 или 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8160