Задача 109104

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.

Решение

Пусть A , B , C и D – точки, попарные расстояния между которыми равны 1. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD с вершиной D . Её основание – равносторонний треугольник ABC . Боковые рёбра DA , DB и DC этой пирамиды равны между собой, поэтому её высота DO проходит через центр O окружности описанной около основания ABC , т.е. через центр равностороннего треугольника ABC со стороной 1. Пусть M – середина стороны BC . Тогда

AM = AB sin ABM = AB sin 60^o = 1· = ,

AO = AM = · = .
Поскольку DO – высота пирамиды, расстояние от точки D до плоскости ABC равно длине отрезка DO . Из прямоугольного треугольника AOD находим, что
DO = = = = .
Ясно, что остальные искомые расстояния также равны .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8179