Задача 109145

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Показать, что sin 36^o=1/4 .

Решение

1-й способ. sin 36^o= . cos 72^o определим из рассмотрения правильного десятиугольника. Если центр правильного десятиугольника соединить с его вершинами, то он разобьётся на 10 равнобедренных треугольников с углом 36^o при вершине и углами по 72^o при основании. Рассмотрим один из таких треугольников (рис.) AOB=36^o, OAB= OBA=72^o, AB=a, AO=BO=b . Проведём биссектрису угла OBA : OBC= CBA=36^o . Треугольники AOB и CBA подобны. OC=CB=AB=a, AC=OA-OC=b-a . Из подобия треугольников CB:AC=OB:AB, a:(b-a)=b:a , a²+ab-b²=0, a=b(-1)/2 (берём лишь положительный корень квадратного уравнения). Проведём высоту OD треугольника OAB . Тогда cos OBA= cos 72⁰=BD:OB, BD=AB/2=a/2=b(-1)/4 , OB=b, cos 72⁰=(-1)/4 . Подставив значение cos 72^o , получим искомое значение sin 36^o . Можно было бы найти непосредственно значение sin 36⁰ из треугольника BCO , опустив его высоту из точки O . Тогда дополнительно надо было бы вычислить эту высоту. 2-й способ. sin 36^o= cos 54^o,; 2 sin 18^o cos 18^o= cos³18^o-3 sin²18⁰ cos 18^o (применили формулу синуса двойного и косинуса тройного аргумента). Сократим на cos 18^o :

2 sin 18^o=cos²18^o-3 sin²18^o или sin 18^o=1-4 sin² 18^o.
Из этого уравнения найдём sin 18^o=(-1+)/4 (второй корень квадратного уравнения не может быть значением синуса). Затем находим значение cos 18^o=/4 и значение sin 36^o по формуле синуса двойного аргумента.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
неизвестно
Название	Задача 10.5