|
|
 |
Условие
В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что
квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой
диагонали одна и та же. Докажите, что
а) 2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
б) 2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.
Решение 1
а) Прибавив к обеим частям b + d + f + h, получим очевидное равенство
б) 1) Пусть S – сумма чисел в строке. Тогда a + i = c + g = b + h = d + f = S – e. Подставив в равенство из п. а), получим 4(S – e) = 2(S – e) + 4e, откуда 2S = 6e, то есть S = 3e.
2) Докажем сначала равенство 2(a² + c² + g² + i²) = b² + d² + f² + h² + 4e². Для этого запишем его в виде
Кроме того, ac + ci + ag + gi = (a + i)(c + g) = (S – e)² = 2e(S – e) = e(b + d + f + h).
3) Заметим, что равенство п. б) остается верным при увеличении всех чисел таблицы на одно и то же число. Действительно,
2((a + t)³ + (c + t)³ + (g + t)³ + (i + t)³) = 2(a³ + c³ + g³ + i³) + 6t(a² + c² + g² + i²) + 6t²(a + c + g + i) + 8t³ =
= b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³ + 3t(b² + d² + f² + h² + 4e²) + 3t²(b + d + f + h + 4e) + 8t³ = (b + t)² + (d + t)² +(f + t)² + (h + t)² + 4(e + t)².
Поэтому достаточно доказать равенство для случая, когда e = 0. Но в этом случае равенство очевидно, поскольку
a + i = c + g = a + c = g + i = b + h = d + f = 2e = 0, и обе части равенства равны нулю.
Решение 2
Сложив четыре суммы: по средней строке, среднему столбцу и диагоналям, мы получим сумму всех чисел таблицы плюс утроенное число в центральной клетке: 4S = 3S + 3e, то есть S = 3e.
Поскольку a + i = c + g = S – e = 2e, обозначим a = e + u, i = e – u, c = e + v, g = e – v.
Последовательно находим b = S – (a + c) = e – u – v, h = S – (g + i) = e + u + v, d = S – (a + g) = e – u + v, f = e + u – v.
Теперь равенство из п. а) очевидно. Для проверки равенства п. б) мы будем многократно использовать очевидное соотношение
(x + y)³ + (x – y)³ = 2x³ + 6xy². Имеем:
2(a³ + c³ + g³ + i³) = 2((e + u)³ + (e – u)³ + (e + v)³ + (e – v)³) = 8e³ + 12e(u² + v²),
b³ + d³ + f³ + h³ + 4e³ = (e – u – v)³ + (e + v – u)³ + (e + u – v)³ + (e + u + v)³ + 4e³ = 2e³ + 6e(u + v)² + 2e³ + 6e(u – v)² + 4e³ = 8e³ + 12e(u² + v²).
Замечания
1. Ср. с задачей 98418.
2. Более общее утверждение: 2(an + cn + gn + in) ≤ bn + dn + fn + hn + 4en, если e ≥ 0 или n чётно. См. книгу Л.Э. Медникова и А.В. Шаповалова "Турнир городов: мир математики в задачах", МЦНМО, 2012, задача Д28.3.3.
3. Баллы: 3 + 3.
