Задача 109235

Темы:    [ Прямая призма ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с острым углом α . Боковая сторона трапеции и её меньшее основание равны. Найдите объём призмы, если диагональ призмы равна a и образует с плоскостью основания угол β .

Решение

Пусть ABCD – основание данной призмы ABCDA1B1C1D1 , причём AD и BC – основания трапеции ABCD ,

AB = BC = CD, BAD = CDA = α, ACA1 = β.
Поскольку AB = BC , треугольник ABC – равнобедренный, поэтому
CAD = ACB = BAC = .
Из прямоугольного треугольника ACA1 находим, что
AA1 = A1C sin ACA1 = a sin β, AC = A1C cos ACA1 = a cos β.
Пусть CK – высота трапеции ABCD . Тогда
DK = (AD - BC), AK = AD - DK = AD - (AD - BC) = (AD+BC),

CK = AC sin CAK = a cos β sin ,

AK = AC cos CAK = a cos β cos .
Поэтому
S_ABCD = (AD+BC)· CK = AK· CK = a cos β sin · a cos β cos = a2 cos2β sin α.
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· AA1 = a2 cos2β sin α · a sin β =

= a3 sin α sin β cos2 β.

Ответ

a3 sin α sin β cos2 β .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7933