Условие
Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных
плоскостей, пересекает и другую.
Решение
Пусть
α и
β – параллельные плоскости, а прямая
a пересекает
плоскость
α в точке
A . Предположим, что прямая
a не пересекает
плоскость
β . Через произвольную точку
B плоскости
β и прямую
a
проведём плоскость
γ . Эта плоскость пересекает параллельные
плоскости
α и
β по прямым
a1
и
b соответственно.
Прямые
a1
и
b лежат в одной плоскости и не пересекаются (т.к.
в противном случае пересеклись бы плоскости
α и
β ), поэтому
a1
|| b .
Прямые
a и
b также лежат в одной плоскости и не пересекаются
(т.к. в противном случае прямая
a пересекла бы плоскость
β ),
поэтому
a || b .
Значит, прямые
a и
a1
совпадают. Но прямая
a1
лежит в
плоскости
α , поэтому и прямая
a лежит в плоскости
α , что
противоречит условию.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8017 |
