Задача 109272

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Три сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга и некоторой плоскости. Основание конуса расположено в этой плоскости. Все три сферы касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Найдите радиус основания конуса, если высота конуса равна 2.

Решение

Пусть O'1 , O'2 , O'3 – ортогональные проекции центров O1 , O2 , O3 данных сфер на плоскость основания конуса, A – вершина конуса, O – центр основания конуса, r – его радиус основания конуса (рис.1). Точка O – центр окружности, описанной около равностороннего треугольника O'1O'2O'3 со стороной 2, поэтому OO'1 = . Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку O1 (рис.3). Получим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC = 2r , высотой AO = 2 и окружность, касающуюся боковой стороны AC в некоторой точке M , а продолжения основания BC за точку CB – в точке O'1 . Пусть прямая, проходящая через точку A , касается этой окружности в точке P , не лежащей на AC . Поскольку AO = PO'1 = 2 , прямая AP параллельна BC . Обозначим PAO1 = α . Тогда

tg α = = = ,

CAO1 = PAO1 = α, ACO = CAP = 2α.
Следовательно,
r = OC = = = =

= = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8061