Условие
Три шара одинакового радиуса попарно касаются друг друга и
некоторой плоскости. Основание конуса расположено в этой плоскости.
Все три сферы касаются боковой поверхности конуса внешним образом.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если высота конуса
равна диаметру шара.
Решение
Пусть
O'1
,
O'2
, O'3
– ортогональные проекции центров
O1
,
O2
,
O3
данных сфер на плоскость основания конуса (рис.2),
R – радиус сфер,
A – вершина конуса,
O – центр основания конуса,
r – его радиус,
ϕ – угол в осевом сечении конуса. Точка
O – центр окружности,
описанной около равностороннего треугольника
O'1
O'2
O'3
со стороной
2
R , поэтому
OO'1
= .
Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку
O1
(рис.3).
Получим равнобедренный треугольник
ABC с основанием
BC = 2
r ,
высотой
AO = 2
R и окружность, касающуюся боковой стороны
AC в
некоторой точке
M , а продолжения основания
BC за точку
C – в точке
O'1
. Пусть прямая, проходящая через точку
A , касается этой
окружности в точке
P , не лежащей на
AC . Поскольку
AO = PO' = 2
R ,
прямая
AP параллельна
BC . Обозначим
PAO1
= α . Тогда
tg α = = =
= ,
CAO1 = PAO1 = α,
CAP = 2α.
Следовательно,
= 90o - CAP = 90o - 2α,
tg = tg (90o - 2α) = ctg 2α =
= =
= 1 - = =
.
Ответ
2
arctg =
4
arctg =
π - 4
arctg .
Источники и прецеденты использования
|
web-сайт |
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
задача |
Номер |
8062 |