Задача 109276

Темы:    [ Цилиндр ] [ Конус ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В цилиндр с радиусом основания, равным 1, и высотой , вписаны три одинаковых шара так, что шары касаются верхнего основания цилиндра, его боковой поверхности и попарно друг друга. Найдите объём конуса, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра и который касается всех трёх шаров.

Решение

Заметим, что

= = 4(2 - 3) = 8 - 12.
Пусть O'1 , O'2 , O'1 – ортогональные проекции центров O1 , O2 , O3 шаров на плоскость нижнего основания цилиндра (рис.2), O – центр этого основания, r – радиус шаров, V – искомый объём конуса. Точка O – центр окружности, описанной около равностороннего треугольника O'1O'2O'1 стороной 2r , поэтому OO'1 = , а т.к. радиус основания цилиндра равен 1, то + r = 1 , откуда
r = = (2 - ) = 2 - 3.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку O1 (рис.3). Получим прямоугольник ABCD , равнобедренный треугольник BCE с основанием BC = 2 и высотой EO ( E – вершина конуса) и окружность с центром O1 и радиусом r = 2 - 3 , касающуюся AB , AD и BE в точках F , G и H соответственно. Обозначим O1BF = α . Тогда
tg α = = = = = = ,

BEO = ABE = 2· O1BF = 2α,

tg BEO = tg 2α = = = , OE = = = .
Следовательно,
V = π · OB2· OE =π.

Ответ

π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8065