ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109278
Темы:    [ Касающиеся сферы ]
[ Правильная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четыре шара радиусов 1, 1, 1 и 2 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус сферы, касающейся внешним образом всех этих шаров.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 – центры сфер радиуса 1, O4 – центр сферы радиуса 2, O – центр искомой сферы радиуса R , касающейся внешним образом четырёх данных сфер. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду O1O2O3O4 с основанием O1O2O3 . Центр O искомой сферы лежит на высоте O4M этой пирамиды. Обозначим OM = x . Пусть A и B – точки, в которых искомая сфера касается данных сфер с центрами O4 и O1 соответственно. Тогда OA = OB = R . Далее находим:

O1M = = , O4M = = = = ,


OO1 = = , OO4 = O4M - OM = - x,


R=OA = OO4 - 2 = - x - 2, R=OB = OO1 - 1 = - 1.

Из уравнения
- x - 2 = - 1

находим, что x = . Следовательно,
R = OA = OO4 - 2 = - x - 2 = - 2 - = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8067

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .